Tokom školovanja imao je veliku podršku od svoga djeda Abdulvehaba ef., koji je bio svršenik Elči Ibrahim pašine medrese u Travniku. Do kraja medrese naučio je pola Kur'ana pred muderisom Husnijem ef. Semićem, poslije čega se vraća u Lugove. Njegov djed ne odustaje i vodi ga pred šejha Kjazima ef. Hadžimejlića da dovrši započeto učenje hifza. Uz hifz, Zaim je učio i druge discipline koje su mu pomogle da kvalitetno obavlja budući imamski poziv. Po završetku medrese počinje raditi u džematu Brestovsko kod Kiseljaka. Bilo je to ratne 1943. godine, da bi godinu kasnije prešao u džemat Goduša kod Visokog za stalnog imama.

Poslije Drugog svjetkog rata i dolaska na vlast komunista na čelu sa Josipom Brozom Titom, počinje žestok obračun sa neistomišljenicima. Shodno tome novi režim otvara brojne kazamate u koje je smjestio neistomišljenike. U takvom represiji stradali su i brojni nedužni. Poslije sukoba Tita sa Staljinom 1949. godine (sam sukob je otpočeo 1948. godine), komunistička vlast otvara Goli otok, gdje su završili, pored onih koji su bili na strani Staljina, i brojni intelektualci – doktori, prosvjetni radnici, književnici ali i imami i svećenici. Godine 1950., tačnije 14. novembra, komunistička vlast zatvara ef. Zaima pod optužbom da je “opasan po sredinu”, i bez suđenja ga šalje na Goli otok. Bio je to jedini hafiz koji je završio na Golom otoku i tamo proveo naredne dvije godine i dva mjeseca. Porodica je bezuspješno pokušavala saznati tačan razlog njegovog hapšenja, ali bi uvijek dobijali odgovor da je on “opasan po sredinu”. Tek nakon određenog vremena njegov sin Mesud uspijeva saznati neke detalje. Zahvaljujući svjedočenjima Zaimovih prijatelja i zatvorenika sa Golog otoka, saznalo se o veličini njegove ličnosti i principa islama kojih se držao i u najtežim životnim uvjetima.

Prema svjedočenju sina Mesuda, “negdje u drugoj polovici sedamdesetih godina u našu kuću dođe nepoznat čovjek sa kačketom na glavi tražeći smještaj za svoju kćerku (…) On se predstavio da je iz Breze, a po razgovoru se vidjelo da je katolik. Pijući kahvu, pogled je bacio na zid na kojem je bila slika moga babe, sa ahmedijom na glavi, skupa s mojom majkom. On je čas gledao u sliku, čas u moju majku i nakon nekog vremena upitao je: ‘A bogati, ko ti je ovaj čovjek na slici?’ Moja majka puna ponosa reče: ‘Bogme, moj hafiz, moj muž. A što pitaš?’ Ovaj nepoznati čovjek nakon njenih riječi je skinuo kačket sa glave ispod koje se ukazala rupa na čelu. ‘Vidiš li ovu rupu na čelu? To sam zbog njega zaradio na Golom otoku. Ali, bogami ne žalim zbog toga, jer od njega među nama nije bilo boljeg čovjeka.”

O ef. Zaimu i njegovom životu na Golom otoku svjedoči i jedan Hrvat iz Fojnice. “Sa mnom su na Golom otoku bila dva svećenika, jedan naš pop i hodža iz Visokog. Mi, ostali zatvorenici, imali smo obavezu da ih svaki dan na krugu udaramo nogama, rukama ili čim prije stignemo. Jedan dan upravnik zatvora, u momentu kad smo ih trebali tući, prišao im je i rekao: ‘Što se ne odreknete tog svog Boga pa da vas prestanemo tući?’ Onaj naš svećenik, poslije malo razmišljanja, odgovori upravniku: ‘Pa i nema Ga! Da Ga ima, ne bi me pustio da ovdje trpim najgore torture’. A hodža podiže glavu i pred svima nama, s ponosom u glasu, reče: ‘Tući me možete! Možete me i ubiti! Ali ja se svog Allaha i svog islama nikada neću odreći!’ Kad je on to rekao ostali zatvorenici su skočili i krvnički ga isprebijali, a ja sam se odmakao, spustio ruke niza se i nikad ga više nisam udario. Tog momenta sam se počeo diviti i njemu i islamu, prema kome i danas imam simpatiju. Tu sam otkrio šta je istinska ljubav prema vjeri zbog koje je čovjek spreman trpiti i najteže muke.”

Razlog zatvaranja ef. Zaima na Goli otok je slijed nesretnih okolnosti u djelovanju ustaša nakon Drugog svjetskog rata u okolini Visokog i Kiseljaka, gdje se na jednom papiru našlo hafizovo ime, što je iskorišteno kao povod za nasilno prekidanje njegovog imamskog angažmana. Nakon što je izašao dobio je kaznu zabrane bavljenja svojim poslom u trajanju od godinu dana. Njegova priča o golgoti koju je doživio na Golom otoku trebala je izaći 1973. godine u listu “Preporod”, ali je ona stopirana od strane glavnog urednika hafiza Huseina Mujića iz razloga što se u njoj spominjao Goli otok. Poginuo je u teškoj saobraćajnoj nesreći 1962. godine na ulazu u Kiseljak prilikom povratka iz Grajana, gdje je radio kao imam. Sahranjen je u rodnom mjestu Lugovi. Iza njega je ostala supruga Fatima sa kojom je imao šestero djece. Njegov sin Mesud ef. Puška je 2017. godine napisao knjigu “Hafiz Zaim ef. Puška – sa šehadetom na Golom otoku”, u kojoj na 521. stranici opisuje njegov život, a naročito period dok je bio na zloglasnom Golom otoku.

Osim knjige koja je posvećena njegovom ocu, Mesud ef Puška je ratne 1994. godine objavio knjigu poezije “Behar duše” u kojoj prva pjesma nosi naziv “Oče”. On je u knjizi posvećenoj ocu objavio tu pjesmu umjesto predgovora na početku knjige. Na sljedećoj stranici nalazi se “Kasida za bosanskog Bilala”, pisana pred dušu Zaima ef. Puške. Ona glasi: “Udarite me, ubijte me, al’ Allaha poreć’ neću!’ vikao je i tekbirao, ustajao i umirao na otoku od kamena, kog beskrajan paše žal, alem vjere i naš Bilal. Ćafiri se uplašiše, Mišice im snagu gube pa sindžire odbaciše pred čudakom čija usta svoju vjeru tol'ko ljube, iz kojih se huka čuje: jači od njih, a krv bljuje! Na stotine tih evlija našu vjeru čuvalo je kao žišku na sred dlana, al’ je nisu ispustili, već su – snagom svog imana – direci joj čvrsti bili pa nam svijetli sve do danas…”